Distribución de Landau

En teoría de la probabilidad, la distribución de Landau^[1]​ es una distribución de probabilidad nombrada en honor a Lev Landáu. Debido a la cola "pesada" de la distribución, los momentos de la distribución, como la media o la varianza, no están definidos. Esta distribución es un caso particular de distribución estable.

Definición

La función de densidad de probabilidad, tal como fue escrita originalmente por Landau, está definida por la integral compleja:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{a-i\infty }^{a i\infty }e^{s\log(s) xs}\,ds,}$

donde a es un número real positivo arbitrario, lo que significa que la ruta de integración puede ser cualquier paralela al eje imaginario que se interseque con el semieje real positivo, y ${\displaystyle \log }$ se refiere al logaritmo natural.

La siguiente integral real es equivalente a la anterior:

${\displaystyle p(x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }e^{-t\log(t)-xt}\sin(\pi t)\,dt.}$

La familia completa de distribuciones de Landau se obtiene al extender la distribución original a una familia de distribuciones estables con parámetros de estabilidad ${\displaystyle \alpha =1}$ y de asimetría ${\displaystyle \beta =1}$,^[2]​ con la función característica:^[3]​

${\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=\exp \left(it\mu -{\tfrac {2ict}{\pi }}\log |t|-c|t|\right),}$

donde ${\displaystyle c\in (0,\infty )}$ y ${\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )}$, que produce una función de densidad:

${\displaystyle p(x;\mu ,c)={\frac {1}{\pi c}}\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos \left(t\left({\frac {x-\mu }{c}}\right) {\frac {2t}{\pi }}\log \left({\frac {t}{c}}\right)\right)\,dt.}$

Observemos que la forma original de ${\displaystyle p(x)}$ se obtiene para ${\displaystyle \mu =0}$ y ${\displaystyle c={\frac {\pi }{2}}}$, mientras que la siguiente es una aproximación^[4]​ de ${\displaystyle p(x;\mu ,c)}$ para ${\displaystyle \mu =0}$ y ${\displaystyle c=1}$:

${\displaystyle p(x)\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp \left(-{\frac {x e^{-x}}{2}}\right).}$

Distribuciones relacionadas

• Si ${\displaystyle X\sim {\textrm {Landau}}(\mu ,c)\,}$ entonces ${\displaystyle X m\sim {\textrm {Landau}}(\mu m,c)\,}$.
• La distribución de Landau es una distribución estable con parámetro de estabilidad ${\displaystyle \alpha }$ y parámetro de asimetría ${\displaystyle \beta }$ ambos iguales a 1.

Referencias